Considerando a importância do assunto juros e de sua aplicação direta no nosso dia a dia, nesta aula vamos nos dedicar a apresentação do conceito de juros simples, as principais fórmulas usadas e observando como esse assunto aparece nas questões de concursos públicos.
Como é de costume aqui no blog, vamos abordar o assunto de forma direta (sem demonstrações) dando embasamento para as provas de concursos, isto é, somente aquilo que você precisa saber para resolver questões de concursos.
Antes de Começar …
Estudar Matemática não é como assistir novela, seja proativo!
Tenha em mãos papel e lápis, sente-se de maneira confortável.
Faça anotações, rabisque, etc.
Procure você mesmo descobrir como se chegou a certo resultado ou valor, antes de perguntar.
Mesmo assim não conseguindo, fique a vontade para nos perguntar.
Bom estudo!
Caso tenha alguma dificuldade sobre porcentagem, veja as aulas:
Capital e Juros
Capital é uma riqueza capaz de produzir renda sem a intervenção do trabalho.
Juros é a remuneração recebida pela aplicação de um capital, durante determinado período, a certa taxa. Os juros é o custo do crédito obtido. Pode ser visto também como sendo o valor do aluguel pelo uso do capital.
Exemplos de situações:
a) Depositar dinheiro na poupança, pois renderá juros;
b) comprando algum objeto a prazo terá que pagar juros ou fazer um empréstimo a longo prazo.
Taxa de Juros
Taxa de juros é o uma porcentagem sobre o capital que foi, por exemplo, emprestado durante certo período, apresenta-se na forma porcentual (ex.: 15%) ou unitária (ex.: 0,15).
Aqui chamamos a atenção para o seguinte:
Para a aplicação de fórmulas, a seguir, a taxa e o tempo (período) devem estar na mesma unidade, ou seja, se a taxa for anual, o tempo deve ser dado em anos, se a taxa for mensal, o tempo deve estar em meses, no caso de uma taxa diária o tempo deve ser expresso em dias.
Montante (Valor Capitalizado ou Acumulado)
O montante ou valor capitalizado é a soma do valor do capital inicial com o valor do juro do capital obtido no período de tempo considerado.
Juros Simples (ou Regime de Capitalização Simples)
No sistema de juros simples, a taxa sempre incidirá sobre o valor do capital inicial, isto é, o juro é sempre determinado sobre o capital inicial.
Ou
os juros correspondentes a cada um dos períodos serão sempre calculados sobre a quantia inicial.
Exemplo: Joaquim emprestou R$ 100,00 a Manoel que, de acordo com o combinado vai pagar ao final de três meses completos, sob uma taxa de juros simples a 10% a.m. (ao mês). Então, Manoel pagará…
Ao final do 1º mês Manoel pagará de juros:
10% de R$ 100,00 = R$ 10,00.
Ao final do 2º mês Manoel pagará de juros:
10% de R$ 100,00 = R$ 10,00.
Ao final do 3º mês Manoel pagará de juros:
10% de R$ 100,00 = R$ 10,00.
Logo o total de juros é de: R$ 30,00 e Manoel pagará R$ 130,00.
Veja que a taxa de 10% em todo período (mês) incidiu sobre o capital inicial (valor emprestado). Essa é a diferença para o sistema de juros compostos, já que neste caso a taxa incide sobre o capital acumulado.
Fórmulas para Cálculo do Juros Simples e Montante
J – juros / C – capital / i – taxa (em valor unitário) / t – tempo / M – montante
Fórmula para o cálculo dos juros simples
J = C.i.t
Fórmula para o cálculo do montante
M = C + J ou M = C.( 1 + i.t )
Exemplos de Aplicação em Questões de Concursos
Exemplo 1: Um capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 60% ao ano durante 7 meses. Qual o montante dessa aplicação?
Solução:
1º Modo
Do problema temos
C = 20.000 i = 60% a.a. t = 7 meses M = ?
Devemos observar que a taxa e o tempo estão em unidades diferentes logo, vamos transformar a taxa para ser aplicada ao mês, basta dividirmos por 12 (1 ano = 12 meses).
60%a.a. e 5%a.m. são taxas equivalentes a juros simples.
Juro obtido:
J = 20000.0,05.7 = 7000
Montante:
M = 20000 + 7000 = R$ 27000,00.
2º Modo
Aplicando direto na fórmula M = C.( 1 + i.t):
A parte (1 + i.t) da fórmula acima é conhecida como fator de correção.
( 1 + i.t ) = 1 + 0,05.7 = 1,35 é o fator de correção.
M = 20000.1,35 = R$ 27000,00.
Exemplo 2: (TCE-PI) Durante o mês de abril, um capital de R$ 20.000,00 foi colocado no open market (sistema de juros simples) pelo prazo de 24 dias, tendo produzido um montante de R$ 24.800,00. A taxa anual de juros simples a que esse capital esteve aplicado foi de:
a) 30% b) 80% c) 120% d) 360% e) 720%
Solução:
C = 20.000 M = 24800 t = 24 dias i = ?
Devemos observar que a taxa é anual e o prazo (tempo) está em dias, vamos fazer a equivalência do prazo para anos.
Outro fato a observar neste problema é de se considerar para o período de 1 ano, 360 dias, conhecido como ano comercial (adotado em juros comerciais). Para o ano civil, 365 dias ou 366 dias (adotado em juros exatos). Considere ano comercial, pois não houve menção de ano civil ou juros exatos.
1º Modo
Juros do período = 24800 – 20000 = R$ 4.800,00.
Trabalhando na fórmula J = C.i.t, mas antes vamos simplificar
2º Modo
Utilizando a fórmula M = C.( 1 + i.t ).
Isolando o fator (1 + i.t) no 1º da equação:
Multiplicando por 100 para converter em porcentagem, temos
i = 3,6 x 100 = 360%.
Exemplo 3: (CEF) Um certo capital aplicado a juros simples durante 15 meses rendeu um determinado juro. Se aplicarmos o triplo desse capital à mesma taxa, em prazo o juro obtido será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação?
A) 5 meses
B) 7 meses e meio
C) 10 meses
D) 12 meses
E) 18 meses
Solução:
Observe que nesta questão não aparecem muitos números, mas fique tranquilo que vamos resolver isso! Como? Vamos nomear algumas incógnitas para representar os dados do problema matematicamente. Vejamos:
“Um certo capital aplicado a juros simples durante 15 meses rendeu um determinado juro.” (1ª aplicação)
Vamos “chamar” esse “certo capital” de C.
Como foi “aplicado a juros simples” ao mês, a taxa vamos “chamar” de i, ou seja, i a.m..
Tempo t = 15 meses.
O “juro” rendido vamos “chamar” de J1.
Utilizando a fórmula J = C.i.n, podemos escrever:
J1 = C.i.15
“Se aplicarmos o triplo desse capital à mesma taxa, em que prazo o juro obtido será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação?” (2º aplicação)
“triplo do capital” será 3.C.
“à mesma taxa” i a.m.
“em que prazo”, vamos chamar de t = ?
O novo juro obtido, vamos “chamar” de J2.
Podemos escrever:
J2 = 3C.i.t
“o juro obtido (J2) será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação (J1)”
Então, temos que:
J2 = 2.J1
Substituindo os valores de J1 e J2.
Conclusão
- No sistema de juros simples, a taxa dever ser aplicado sobre o capital inicial;
- Tempo de aplicação e a taxa, devem estar na mesma unidade;
- Fórmulas ajudam, mas observe que no sistema de juros simples não é necessário se preocupar tanto em decorar, entendendo os conceitos, fica fácil lembrar-se das fórmulas.
- Observe que na resolução dos dois primeiros exemplos, dois caminhos foram usados para obter as respostas. Sabemos que em concursos o fator tempo de prova é de suma importância, portanto, evite seguir pelo caminho mais rápido na resolução de uma questão caso você se sinta inseguro, às vezes é melhor demorar um pouco mais em uma questão e ter certeza do que está fazendo do que o contrário.
No sistema de juros simples, a taxa sempre incidirá sobre o valor do capital inicial, isto é, o juro é sempre determinado sobre o capital inicial.
Ou
os juros correspondentes a cada um dos períodos serão sempre calculados sobre a quantia inicial.
Exemplo: Joaquim emprestou R$ 100,00 a Manoel que, de acordo com o combinado vai pagar ao final de três meses completos, sob uma taxa de juros simples a 10% a.m. (ao mês). Então, Manoel pagará…
Ao final do 1º mês Manoel pagará de juros:
10% de R$ 100,00 = R$ 10,00.
Ao final do 2º mês Manoel pagará de juros:
10% de R$ 100,00 = R$ 10,00.
Ao final do 3º mês Manoel pagará de juros:
10% de R$ 100,00 = R$ 10,00.
Logo o total de juros é de: R$ 30,00 e Manoel pagará R$ 130,00.
Veja que a taxa de 10% em todo período (mês) incidiu sobre o capital inicial (valor emprestado). Essa é a diferença para o sistema de juros compostos, já que neste caso a taxa incide sobre o capital acumulado.
Fórmula para o cálculo dos juros simples
J = C.i.t
Fórmula para o cálculo do montante
M = C + J ou M = C.( 1 + i.t )
60%a.a. e 5%a.m. são taxas equivalentes a juros simples.
Juro obtido:
J = 20000.0,05.7 = 7000
Montante:
M = 20000 + 7000 = R$ 27000,00.
2º Modo
Aplicando direto na fórmula M = C.( 1 + i.t):
A parte (1 + i.t) da fórmula acima é conhecida como fator de correção.
( 1 + i.t ) = 1 + 0,05.7 = 1,35 é o fator de correção.
1º Modo
Juros do período = 24800 – 20000 = R$ 4.800,00.
Trabalhando na fórmula J = C.i.t, mas antes vamos simplificar
2º Modo
Utilizando a fórmula M = C.( 1 + i.t ).
Isolando o fator (1 + i.t) no 1º da equação:
Multiplicando por 100 para converter em porcentagem, temos
i = 3,6 x 100 = 360%.
Exemplo 3: (CEF) Um certo capital aplicado a juros simples durante 15 meses rendeu um determinado juro. Se aplicarmos o triplo desse capital à mesma taxa, em prazo o juro obtido será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação?
A) 5 meses
B) 7 meses e meio
C) 10 meses
D) 12 meses
E) 18 meses
Solução:
Observe que nesta questão não aparecem muitos números, mas fique tranquilo que vamos resolver isso! Como? Vamos nomear algumas incógnitas para representar os dados do problema matematicamente. Vejamos:
“Um certo capital aplicado a juros simples durante 15 meses rendeu um determinado juro.” (1ª aplicação)
Vamos “chamar” esse “certo capital” de C.
Como foi “aplicado a juros simples” ao mês, a taxa vamos “chamar” de i, ou seja, i a.m..
Tempo t = 15 meses.
O “juro” rendido vamos “chamar” de J1.
Utilizando a fórmula J = C.i.n, podemos escrever:
J1 = C.i.15
“Se aplicarmos o triplo desse capital à mesma taxa, em que prazo o juro obtido será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação?” (2º aplicação)
“triplo do capital” será 3.C.
“à mesma taxa” i a.m.
“em que prazo”, vamos chamar de t = ?
O novo juro obtido, vamos “chamar” de J2.
Podemos escrever:
J2 = 3C.i.t
“o juro obtido (J2) será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação (J1)”
Então, temos que:
J2 = 2.J1
Substituindo os valores de J1 e J2.
Um comentário:
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