Questões de matemática do Enem 2013 resolvidas

Ai vai pessoal, todas as questões de matemática resolvidas:

Juros Simples

Considerando a importância do assunto juros e de sua aplicação direta no nosso dia a dia, nesta aula vamos nos dedicar a apresentação do conceito de juros simples, as principais fórmulas usadas e observando como esse assunto aparece nas questões de concursos públicos.

Como é de costume aqui no blog, vamos abordar o assunto de forma direta (sem demonstrações) dando embasamento para as provas de concursos, isto é, somente aquilo que você precisa saber para resolver questões de concursos.

Antes de Começar …

Estudar Matemática não é como assistir novela, seja proativo!

Tenha em mãos papel e lápis, sente-se de maneira confortável.

Faça anotações, rabisque, etc.

Procure você mesmo descobrir como se chegou a certo resultado ou valor, antes de perguntar.

Mesmo assim não conseguindo, fique a vontade para nos perguntar.

Bom estudo!

Caso tenha alguma dificuldade sobre porcentagem, veja as aulas:

Porcentagem: teoria e exercícios

Porcentagem: questões de concursos resolvidas

Capital e Juros

Capital é uma riqueza capaz de produzir renda sem a intervenção do trabalho.

Juros é a remuneração recebida pela aplicação de um capital, durante determinado período, a certa taxa. Os juros é o custo do crédito obtido. Pode ser visto também como sendo o valor do aluguel pelo uso do capital.

Exemplos de situações:

a) Depositar dinheiro na poupança, pois renderá juros;

b) comprando algum objeto a prazo terá que pagar juros ou fazer um empréstimo a longo prazo.

Taxa de Juros

Taxa de juros é o uma porcentagem sobre o capital que foi, por exemplo, emprestado durante certo período, apresenta-se na forma porcentual (ex.: 15%) ou unitária (ex.: 0,15).

Aqui chamamos a atenção para o seguinte:

Para a aplicação de fórmulas, a seguir, a taxa e o tempo (período) devem estar na mesma unidade, ou seja, se a taxa for anual, o tempo deve ser dado em anos, se a taxa for mensal, o tempo deve estar em meses, no caso de uma taxa diária o tempo deve ser expresso em dias.

Montante (Valor Capitalizado ou Acumulado)

O montante ou valor capitalizado é a soma do valor do capital inicial com o valor do juro do capital obtido no período de tempo considerado.

Juros Simples (ou Regime de Capitalização Simples)

No sistema de juros simples, a taxa sempre incidirá sobre o valor do capital inicial, isto é, o juro é sempre determinado sobre o capital inicial.

Ou

os juros correspondentes a cada um dos períodos serão sempre calculados sobre a quantia inicial.

Exemplo: Joaquim emprestou R$ 100,00 a Manoel que, de acordo com o combinado vai pagar ao final de três meses completos, sob uma taxa de juros simples a 10% a.m. (ao mês). Então, Manoel pagará…

Ao final do 1º mês Manoel pagará de juros:

10% de R$ 100,00 = R$ 10,00.

Ao final do 2º mês Manoel pagará de juros:

10% de R$ 100,00 = R$ 10,00.

Ao final do 3º mês Manoel pagará de juros:

10% de R$ 100,00 = R$ 10,00.

Logo o total de juros é de: R$ 30,00 e Manoel pagará R$ 130,00.

Veja que a taxa de 10% em todo período (mês) incidiu sobre o capital inicial (valor emprestado). Essa é a diferença para o sistema de juros compostos, já que neste caso a taxa incide sobre o capital acumulado.

Fórmulas para Cálculo do Juros Simples e Montante

J – juros / C – capital / i – taxa (em valor unitário) / t – tempo / M – montante

Fórmula para o cálculo dos juros simples

J = C.i.t

Fórmula para o cálculo do montante

M = C + J ou M = C.( 1 + i.t )

Exemplos de Aplicação em Questões de Concursos

Exemplo 1: Um capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 60% ao ano durante 7 meses. Qual o montante dessa aplicação?

Solução:

1º Modo

Do problema temos

C = 20.000       i = 60% a.a.          t = 7 meses           M = ?

Devemos observar que a taxa e o tempo estão em unidades diferentes logo, vamos transformar a taxa para ser aplicada ao mês, basta dividirmos por 12 (1 ano = 12 meses).

              

60%a.a. e 5%a.m. são taxas equivalentes a juros simples.

Juro obtido:

J = 20000.0,05.7 = 7000

Montante:

M = 20000 + 7000 = R$ 27000,00.

2º Modo

Aplicando direto na fórmula M = C.( 1 + i.t):

A parte (1 + i.t) da fórmula acima é conhecida como fator de correção.

( 1 + i.t ) = 1 + 0,05.7 = 1,35 é o fator de correção.

M = 20000.1,35 = R$ 27000,00.

Exemplo 2: (TCE-PI) Durante o mês de abril, um capital de R$ 20.000,00 foi colocado no open market (sistema de juros simples) pelo prazo de 24 dias, tendo produzido um montante de R$ 24.800,00. A taxa anual de juros simples a que esse capital esteve aplicado foi de:

a) 30%          b) 80%             c) 120%             d) 360%         e) 720%

Solução:

C = 20.000          M = 24800           t = 24 dias      i = ?

Devemos observar que a taxa é anual e o prazo (tempo) está em dias, vamos fazer a equivalência do prazo para anos.

Outro fato a observar neste problema é de se considerar para o período de 1 ano, 360 dias, conhecido como ano comercial (adotado em juros comerciais). Para o ano civil, 365 dias ou 366 dias (adotado em juros exatos). Considere ano comercial, pois não houve menção de ano civil ou juros exatos.

 

1º Modo

Juros do período = 24800 – 20000 = R$ 4.800,00.

Trabalhando na fórmula J = C.i.t, mas antes vamos simplificar

2º Modo

Utilizando a fórmula M = C.( 1 + i.t ).

Isolando o fator (1 + i.t) no 1º da equação:

Multiplicando por 100 para converter em porcentagem, temos

i = 3,6 x 100 = 360%.

Exemplo 3: (CEF) Um certo capital aplicado a juros simples durante 15 meses rendeu um determinado juro. Se aplicarmos o triplo desse capital à mesma taxa, em prazo o juro obtido será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação?

A) 5 meses

B) 7 meses e meio

C) 10 meses

D) 12 meses

E) 18 meses

Solução:

Observe que nesta questão não aparecem muitos números, mas fique tranquilo que vamos resolver isso! Como? Vamos nomear algumas incógnitas para representar os dados do problema matematicamente. Vejamos:

“Um certo capital aplicado a juros simples durante 15 meses rendeu um determinado juro.” (1ª aplicação)

Vamos “chamar” esse “certo capital” de C.

Como foi “aplicado a juros simples” ao mês, a taxa vamos “chamar” de i, ou seja, i a.m..

Tempo t = 15 meses.

O “juro” rendido vamos “chamar” de J₁.

Utilizando a fórmula J = C.i.n, podemos escrever:

J₁ = C.i.15

“Se aplicarmos o triplo desse capital à mesma taxa, em que prazo o juro obtido será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação?” (2º aplicação)

“triplo do capital” será 3.C.

“à mesma taxa” i a.m.

“em que prazo”, vamos chamar de t = ?

O novo juro obtido, vamos “chamar” de J₂.

Podemos escrever:

J₂ = 3C.i.t

“o juro obtido (J₂) será igual ao dobro do obtido na primeira aplicação (J₁)”

Então, temos que:

J₂ = 2.J₁

Substituindo os valores de J₁ e J₂.

Conclusão

- No sistema de juros simples, a taxa dever ser aplicado sobre o capital inicial;

- Tempo de aplicação e a taxa, devem estar na mesma unidade;

- Fórmulas ajudam, mas observe que no sistema de juros simples não é necessário se preocupar tanto em decorar, entendendo os conceitos, fica fácil lembrar-se das fórmulas.

- Observe que na resolução dos dois primeiros exemplos, dois caminhos foram usados para obter as respostas. Sabemos que em concursos o fator tempo de prova é de suma importância, portanto, evite seguir pelo caminho mais rápido na resolução de uma questão caso você se sinta inseguro, às vezes é melhor demorar um pouco mais em uma questão e ter certeza do que está fazendo do que o contrário.